Matemática

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Questões Resolvidas de Matemática

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Considere todos os números reais positivos tais que \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{\sqrt{2010}}, determine o menor valor que o produto pq pode assumir.
Perceba que p e q não podem ser ambos negativos. Se fossem, seus inversos (\frac{1}{p} e \frac{1}{q}) também seriam negativos e a soma de dois negativos jamais daria um número positivo (\frac{1}{\sqrt{2010}}).
Por conta disso, ou p e q possuem sinais opostos, ou p e q são positivos.
Ou seja, se o produto pq for positivo, podemos garanir que ambos, p e q, são positivos.
Se o produto pq for negativo, podemos garantir que p e q possuem sinais opostos.
Em suma, podemos simplesmente analisar o caso em que o produto é positivo sem ter medo de errar, pois p e q não podem ser simultaneamente negativos (caso em que o produto daria positivo também).
A partir do caso mais geral
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{a}, com a> 0
Chegamos facilmente a
\frac{1}{p}=\frac{1}{a}-\frac{1}{q}
\frac{1}{p}=\frac{q-a}{aq}
Invertendo ambos os lados da equação...
p=\frac{aq}{q-a}
Agora, multiplicando ambos os membros por q obteremos o produto (isso é possível porque q é diferente de 0).
pq=\frac{aq^2}{q-a}
Vamos batizar o produto pq com a letra M. Desta forma, o produto fica em função de uma única variável: a letra "q".
{tex inline label:[1]}M=\frac{aq^2}{q-a}{/tex}
Se você souber cálculo infinitesimal, você poderá achar o valor mínimo de W (faremos isso lá no final). O que transformaria este problema num problema comum e de resolução relativamente fácil.
Mas, se você não souber cálculo, terá que usar de um pouco mais de destreza.
Para dar conta disso, vamos desenvolver um pouco mais a última expressão:
{tex inline}M=\frac{aq^2}{q-a} \Rightarrow \\
\Rightarrow M(q-a)=aq^2\Leftrightarrow Mq-Ma=aq^2 \\
\Leftrightarrow aq^2-Mq+Ma=0{/tex}
A última equação é uma equação polinomial do segundo grau em "q".
O que nos interessa é saber para quais valores de M existe um "q" que satisfaça a equação.
Ou seja, queremos saber quais os possíveis valores de M que fazem com que a esquação acima tenha raízes reais. Estes serão, obviamente, (exceto por uma pequana restrição com relação a impossibilidade de zerar denominadores) os possíveis valores assumidos por M na expressão [1].
Este já é um tópico trivial do curso fundamental. A Tia Tetéia, lá no 9º ano, não se cansa de dizer que, como a solução geral da equação quadrática é da forma:
{tex inline}\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
(Com \ b^2-4ac=\Delta ){/tex}
Olhando para esta expressão, ela (a tia Tetéia) nos faz concluir que, para conseguirmos fazer esta conta com os conhecimentos que temos no 9º ano, precisamos obrigar o \Delta a ser maior que ou igual a zero.
Voltando para a nossa equação quadrática, teremos que
{tex inline}(-M)^2=4a\cdot Ma\geq 0\\
Ou\ seja,\ M^2-4Ma^2\geq 0{/tex}
Ocorre que o gráfico da função f(M)=M^2-4Ma^2\geq 0 é uma parábola, com concavidade para cima e raizes 0 (zero) e 4a^2.
Logo, f(M) será maior que ou igual a zero, para valores positivos de M, se, e somente se, M for maior que ou igual a 4a^2. Veja figura abaixo em que fizemos a=1.
{colocar figura aqui}
Perceba que, de acordo com a figura, o menor valor positivo de M que torna f(M) positivo é exatamente M=4a^2.
Como, no problema original, a=\sqrt{2010}, teremos que o menor valor que M assumirá para valores positivos de p e q será de 4\cdot(\sqrt{2010})^2=8040. Para sabermos quais valores de p e q darão como produto 8040, basta substituirmos os valores de M e de a em [1](M=\frac{aq^2}{q-a}) e resolvermos aquação associada, que deixaremos como exercício...
Após resolver a equação, você encontrará:
p=q=2\sqrt{2010}
Se você já tiver feito o curso de cálculo e quiser derivar, achar os extremos e confecionar o gráfico de M=\frac{\sqrt{2010}q^2}{q-\sqrt{2010}}
O gráfico deverá ficar mais ou menos assim:
Perceba que p e q não podem ser ambos negativos. Se fossem, seus inversos (\frac{1}{p} e \frac{1}{q}) também seriam negativos e a soma de dois negativos jamais daria um número positivo (\frac{1}{\sqrt{2010}}).
Por conta disso, ou p e q possuem sinais opostos, ou p e q são positivos.
Ou seja, se o produto pq for positivo, podemos garantir que ambos, p e q, são positivos.
Se o produto pq for negativo, podemos garantir que p e q possuem sinais opostos.
Em suma, podemos simplesmente analisar o caso em que o produto é positivo sem ter medo de errar, pois p e q não podem ser simultaneamente negativos (caso em que o produto daria positivo também).
A partir do caso mais geral
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{a}, com a> 0
Chegamos facilmente a
\frac{1}{p}=\frac{1}{a}-\frac{1}{q}
\frac{1}{p}=\frac{q-a}{aq}
Invertendo ambos os lados da equação...
p=\frac{aq}{q-a}
Agora, multiplicando ambos os membros por q obteremos o produto (isso é possível porque q é diferente de zero).
pq=\frac{aq^2}{q-a}
Vamos batizar o produto pq com a letra M. Desta forma, o produto fica em função de uma única variável: a letra "q".
M=\frac{aq^2}{q-a}
Se você souber cálculo infinitesimal, você poderá achar o valor mínimo de W (faremos isso lá no final). O que transformaria este problema num problema comum e de resolução relativamente fácil.
Mas, se você não souber ou não puder usar cálculo, terá que usar de um pouco mais de destreza.
Para dar conta disso, vamos desenvolver um pouco mais a última expressão:
[1]\ M=\frac{aq^2}{q-a} \Rightarrow
\Rightarrow M(q-a)=aq^2\Leftrightarrow
\Leftrightarrow Mq-Ma=aq^2 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow  aq^2-Mq+Ma=0
A última equação é uma equação polinomial do segundo grau em "q".
O que nos interessa é saber para quais valores de M existe um "q" que satisfaça a equação.
Ou seja, queremos saber quais os possíveis valores de M que fazem com que a equação acima tenha raízes reais. Estes serão, obviamente, (exceto por uma eventual pequana restrição com relação à impossibilidade de zerar denominadores) os possíveis valores assumidos por M na expressão [1].
Este, sim, já é um tópico que pode ser considerado trivial do curso fundamental. A Tia Tetéia, lá no 9º ano, não se cansa de dizer que, como a solução geral da equação quadrática ax^2+bx+c=0 é da forma:
\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
(Com \  b^2-4ac=\Delta )
Olhando para esta expressão, ela (a tia Tetéia) nos faz concluir que, para conseguirmos fazer esta conta com os conhecimentos que temos no 9º ano, precisamos obrigar o \Delta a ser maior que ou igual a zero.
Voltando para a nossa equação quadrática, teremos que
(-M)^2=4a\cdot Ma\geq 0
Ou\ seja,\ M^2-4Ma^2\geq 0
Ocorre que o gráfico da função f(M)=M^2-4Ma^2 é uma parábola, com concavidade para cima e raizes 0 (zero) e 4a^2.
Logo, f(M) será maior que ou igual a zero, para valores positivos de M, se, e somente se, M for maior que ou igual a 4a^2. Veja figura abaixo em que fizemos a=1.
Perceba que, de acordo com a figura, o menor valor positivo de M que torna f(M) positivo é exatamente M=4a^2.
Como, no problema original, a=\sqrt{2010}, teremos que o menor valor que M assumirá para valores positivos de p e q será de 4\cdot(\sqrt{2010})^2=8040. Para sabermos quais valores de p e q darão como produto 8040, basta substituirmos os valores de M e de a em [1](  M=\frac{aq^2}{q-a}) e resolvermos aquação associada, que deixaremos como exercício...
Após resolver a equação, você encontrará:
p=q=2\sqrt{2010}
Se você já tiver feito o curso de cálculo e quiser derivar, achar os extremos e confecionar o gráfico de M=\frac{\sqrt{2010}q^2}{q-\sqrt{2010}}
O gráfico deverá ficar mais ou menos assim:

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