Matemática

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Questões Resolvidas de Matemática

Área entre Cevianas e Lados

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Área entre cevianas e lados.

morgado.gif (1036 bytes)

Considere o triângulo ABC onde CD=CB/3 e BE=AB/3.
Se a área do triângulo ABC vale 1. Calcule a área do triângulo CDF.

 

morgado1.gif (1272 bytes)

Prolongando o segmento AD até encontrar a paralela a AB que passa por C teremos uma figura de onde poderemos tirar duas relações de semelhança:

Na figura ao lado, a razão de semelhança entre o triângulo CDW e o BDA é ½. Logo:

(1) e

(2)

morgado2.gif (1258 bytes)

Na Figura ao lado, a razão de semelhança entre o triângulo CWF e o triângulo EFA é:

(3)

Donde:

(4)

e CF=3FE/4 (5)

Usando as igualdades 2 e 4, acharemos que FA=6DF.
Como já sabemos, de (5), que CF=3FE/4.

Agora fica fácil calcular a área desejada.
A área do triângulo CEB é um terço da área do triângulo ABC.

Isso é fácil ver porque .
Ou seja, como a área é proporcional a dois quaisquer lados e aos ângulo entre eles, se dilatarmos apenas um desses lados, multiplicando-o por k, a área toda fica multiplicada por k.

Chamando o ângulo ECB de " î "e percebendo que CF=3CE/7,teremos que:

Resposta: 1/21.

GENERALIZANDO...

morgado_a.gif (2838 bytes)

Considere a figura acima. Sabendo que a área do triângulo ABC vale 1, determine a área do triângulo CIH.

Traçando uma paralela a AB passando por C e estendendo o segmento AH, teremos que:

morgado_b.gif (2308 bytes)

Os triângulos CHV e BHA são semelhantes e a razão de semelhança do segundo para o primeiro vale "a", ou seja, os lados do triângulo BHA são "a" vezes os respectivos lados homólogos do triângulo CHV. Desta forma, AB=a.o (1) e m+n=aj (2).

morgado_c.gif (2282 bytes)

Os triângulos CIV e GIA são semelhantes e a razâo de semelhança do segundo para o primeiro vale

Mas, de (1), AB=o.a, o que faz a razão de semelhança ser ac/(c+1).

Isto implica que os lados do triângulo AGI são os lados do triângulo CVI multiplicados por ac/c+1.

Logo, (3) e (4)

Já sabemos a relação existente entre k e r. Resta saber a relação existente entre m e n.

Eliminando j a partir de (2) e (4) encontramos m=n.c.(a+1).
Calculando então a área do triângulo CIH...
A área do triângulo CGB pode ser calculada dividindo-se a área do triângulo ABC por (c+1) e multiplicando o resultado por 1. Logo, .

O triângulo CIH pode ser visto como tendo sindo obtido a partir de CGB multiplicando-se os lados CG e CB respectivamente por e .

Logo, Como a área de um triângulo é proporcional a dois quaisquer lados e ao seno do ângulo entre eles, .

 

 

Alguns exemplos:
Se as cevianas são medianas...

morgado_l.gif (2398 bytes)

Nesta caso, a=1 e c=1, Logo, morgado_o.gif (418 bytes).

Ou seja, a área do triângulo hachurado é 1/6 da área do triângulo ABC.

Se as cevianas cortam um dos lados na razão de 1 para 3 o o outro na razão de 1 para 2.

morgado_m.gif (2445 bytes)

 

Neste caso a=3 e c=2, logo,

morgado_p.gif (445 bytes).

Ou seja, a área do triângulo hachurado é 1/36 da área do triângulo ABC.

Se as cevianas cortam um dos lados na razão de 2 para 3 (ou de 1 para 3/2) o o outro na razão de 3 para 2 (ou de 1 para 2/3).

morgado_n.gif (2511 bytes)

Neste caso a=3/2 e c=2/3, logo,

morgado_q.gif (526 bytes).

Ou seja, a área do triângulo hachurado é 3/20 da área do triângulo ABC.


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  • Convidado (Carol, legal)

    eu queria exemplos, alguem online ? preciso da autura, mediana, bissetriz e mediatriz ME AJUDEM ! :s , Obrigada ! (: